(S):x2+y2+z2−2x+4y+2z−3=0 và (P):2x−y+2z−14=0. Tìm M thuộc (S): d[M;(P)] min - max.

Question

Cho mặt cầu \(\left(S\right):x^{2} +y^{2} +z^{2} -2x+4y+2z-3=0 \)và \(\left(P\right):2x-y+2z-14=0.\)
Tìm điểm Mthuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất - nhỏ nhất?
 

Answer 1

Gọi d là đường thẳng đi qua\( I\left(1\, ;\, -2\, ;-1\right)\)và vuông góc với (P)

Khi đó đường thẳng d có:\( \left\{\begin{array}{l} {\overrightarrow{u}_{d} =\overrightarrow{n}_{\left(P\right)} =\left(2\, ;\, -1\, ;\, 2\right)} \\ {qua\, I\left(1\, ;\, -2\, ;\, -1\right)} \end{array}\right.   \)

\(\Rightarrow \) phương trình đường thẳng d là: \(d:\left\{\begin{array}{l} {x=1\, \, \, \, \, +2t} \\ {y=-2-t} \\ {z=-1+2t} \end{array}\right. .\)

Tọa độ giao điểm của d và mặt cầu (S) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{\begin{array}{l} {x=1+2t} \\ {y=-2-t} \\ {z=-1+2t} \\ {x^{2} +y^{2} +z^{2} -2x+4y+2z-3=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t=1} \\ {t=-1} \end{array}\right.  \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {x=3} \\ {y=-3} \\ {z=1} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {x=-1} \\ {y=-1} \\ {z=-3} \end{array}\right. } \end{array}\right.  \)
\(\Rightarrow \left[\begin{array}{l} {M_{1} \left(3\, ;-3\, ;1\right)} \\ {M_{2} \left(-1\, ;-1\, ;-3\right)} \end{array}\right.  \Rightarrow \left[\begin{array}{l} {d\left(M_{1} \, ;\, \left(P\right)\right)=1} \\ {d\left(M_{2} \, ;\, \left(P\right)\right)=7} \end{array}\right.  .\) 
\(M_{2} \left(-1\, ;-1\, ;-3\right)\) thì khoảng cách từ \(M_{2}\)  đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.

\(M_{1} \left(3\, ;-3\, ;1\right)\) thì khoảng cách từ\( M_{2}\)  đến mặt phẳng (P) là bé nhất.