​ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AD, đáy nhỏ BC. Gọi E,F lần lượt là...

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AD, đáy nhỏ BC. Gọi \(E,{\rm \; }F\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB,\({\rm \; }\)SCD.

a) Chứng minh \(EF//AD//BC\).

b) Gọi M là giao điểm của SD và \( mp\left(ABF\right)\), N là giao điểm của SA và \(mp\left(CDE\right)\). Chứng minh \(MN//AD.\)
 

Answer 1

a)  Gọi \(I=SE\cap AB,{\rm \; }K=SF\cap BC\),

do \(E,{\rm \; }F\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB,{\rm \; }SCD\)

nên \(EF//IK\)

mà \(IK//AD\),\({\rm \; }IK//BC\Rightarrow EF//AD,{\rm \; }IK//BC.\)

 

b) Gọi \(P=AB\cap CD\Rightarrow \left(ABF\right)\cap \left(SCD\right)=PF\)

mà \(\left(ABF\right)\cap SD=M\Rightarrow M=PF\cap SD.\)

Tương tự ta có: \(\left(CDE\right)\cap \left(SAB\right)=PE\)

mà \(\left(CDE\right)\cap SA=N\Rightarrow N=PE\cap SA.\)

Do \(EF\subset \left(MNP\right),{\rm \; }AD\subset \left(SAD\right)\), theo câu a thì \(EF//AD\) và 
\(\left(MNP\right)\cap \left(SAD\right)=MN\Rightarrow MN//AD.\)