Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Các điểm E,F,G thỏa mãnSE=23SBSF=23SC,SG=12SD.

Question

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Các điểm E,F,G thỏa mãn \(\overrightarrow{SE}=\frac{2}{3} \overrightarrow{SB} \overrightarrow{SF}=\frac{2}{3} \overrightarrow{SC}, \overrightarrow{SG}=\frac{1}{2} \overrightarrow{SD}.\)

a)Chứng minh rằng \(EF//\left(SAD\right).\)

b)Xác định giao điểm I của đường thẳng AC và mặt phẳng (EFG). Tính tỉ số\( \frac{IC}{IA}\)  ? 
 

Answer 1

a)Từ giả thiết ta có \(\frac{SE}{SB} =\frac{SF}{SC} =\frac{2}{3} \Rightarrow EF//BC \)

Mà \(BC//AD\Rightarrow EF//AD\Rightarrow EF//\left(SAD\right).\)

b)Hai mặt phẳng \(\left(EFG\right) và \left(SAD\right),\) có G chung và EF//AD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d qua G và song song với AD, cắt SA tại Q. Ta có Q là trung điểm SA.

Khi đó I là giao điểm của QF với AC.

Xét tam giác SAC. Theo định lí Menelaus ta có: 
\(\[\frac{QS}{QA} .\frac{IA}{IC} .\frac{FC}{FS} =1\Rightarrow 1.\frac{IA}{IC} .\frac{1}{2} =1\Rightarrow \frac{IA}{IC} =2\Rightarrow \frac{IC}{IA} =\frac{1}{2} .\]  \)