Cho 2x−my+3z+m−6=0và(m+3)x−2y+(5m+1)z−10=0. Tìm m để 2mp //, cắt, trùng, vuông góc.

Question

Cho hai  mặt phẳng \(2x-my+3z+m-6=0 và \left(m+3\right)x-2y+\left(5m+1\right)z-10=0.\) Tìm m để 2 mặt phẳng đó song song , cắt nhau , trùng nhau , vuông góc ?
 

Answer 1

Mặt phẳng có phương trình: 2x-my+3z+m-6=0  có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{1} }=\left(2 ; -m ; 3\right).\)

Mặt phẳng có phương trình: \(\left(m+3\right)x-2y+\left(5m+1\right)z-10=0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{2} }=\left(m+3 ; -2 ; 5m+1\right).\)

Ta có \(\left[\overrightarrow{n_{1} },\overrightarrow{n_{2} }\right]=\left(-5m^{2} -m+6;-7m+7;m^{2} +3m-4\right).\)

Hai vectơ \( \overrightarrow{n_{1} },\overrightarrow{n_{2} }\) cùng phương  \(\Leftrightarrow \left[\overrightarrow{n_{1} },\overrightarrow{n_{2} }\right]=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {-5m^{2} -m+6=0} \\ {-7m+7=0} \\ {m^{2} +3m-4=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow m=1.\)

Với m=1 ta thấy hai mặt phẳng đã cho trùng nhau.

Vậy không có giá trị nào của m để 2 mặt phẳng đã cho song song.

        Hai mặt phẳng đã cho cắt nhau\( \Leftrightarrow m\ne 1\).

        Hai mặt phẳng đã cho trùng nhau\( \Leftrightarrow m=1.\)

Hai mặt phẳng đã cho vuông góc với nhau\( \Leftrightarrow \overrightarrow{n_{1} }.\overrightarrow{n_{2} }=0                  \Leftrightarrow 2\left(m+3\right)+m.2+3\left(5m+1\right)=0\Leftrightarrow m=-\frac{9}{19}  .\)