Cho hàm số y=x+1x−1 có đồ thị (C). Hai điểm M,N thuộc hai nhánh của đồ thị (C)...

Question

Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1} \) có đồ thị \(\left(C\right)\). Hai điểm M,N thuộc hai nhánh của đồ thị \( \left(C\right)\) sao cho MN nhỏ nhất. Khi đó độ dài MN bằng

 A. 2.
B. \(4\sqrt{2} \).
C. \(2\sqrt{2} . \)
D. 4.

Answer 1

họn D

Ta có \(y=\frac{x+1}{x-1} =1+\frac{2}{x-1}\)  đồ thị \(\left(C\right)\) có tiệm cận đứng x=1.

Gọi \(M\left(x_{1} ;\, y_{1} \right),\, \, \, N\left(x_{2} ;\, \, y_{2} \right)\) lần lượt là 2 điểm thuộc hai nhánh của đồ thị thỏa mãn \(x_{1} <1<x_{2} .\)

Đặt\( \left\{\begin{array}{l} {a=1-x_{1} } \\ {b=x_{2} -1} \end{array}\right. \, \, \, \left(x_{1} <1<x_{2} \right)\, \, \Rightarrow a,\, \, b>0. \)

Khi đó \(\left\{\begin{array}{l} {x_{1} =1-a} \\ {x_{2} =b+1} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {y_{1} =1-\frac{2}{a} } \\ {y_{2} =1+\frac{2}{b} } \end{array}\right.  \)

Ta có \(MN^{2} =\left(x_{2} -x_{1} \right)^{2} +\left(y_{2} -y_{1} \right)^{2} =\left(a+b\right)^{2} +\left(\frac{2}{b} +\frac{2}{a} \right)^{2} =\left(a+b\right)^{2} +\frac{4\left(a+b\right)^{2} }{\left(ab\right)^{2} } . \)

Suy ra \(MN^{2} \ge 4ab+4.\frac{4ab}{\left(ab\right)^{2} } =4ab+\frac{16}{ab} \ge 2\sqrt{4ab.\frac{16}{ab} } =16.\) 

Khi \(MN^{2} =16\Leftrightarrow MN=4, khi đó \left\{\begin{array}{l} {a=b} \\ {4ab=\frac{16}{ab} } \\ {a,\, \, \, b>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow a=b=2 \)

Ta được \(x_{1} =-1;\, \, \, x_{2} =3. \) Tọa độ các điểm \(M,\, \, N là: M\left(-1;\, \, 0\right),\, \, \, N\left(3;\, \, 2\right).\) 

Vậy \(MN_{\min } =4.\)