Question

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.

1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .

2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Chứng minh ED = 1/2 BC.

4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

5. Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, AH = 6 cm.

Answer 1

1. Xét tứ giác CEHD ta có:

góc CEH = \(90^0\) (Vì BE là đường cao)

góc CDH = \(90^0\) (Vì AD là đường cao)

=> góc CEH + góc CDH = \(180^0\)

Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp

2. Theo giả thiết: BE là đường cao

=> BE ┴ AC => góc BEA = \(90^0\)

AD là đường cao

=> AD ┴ BC => BDA = \(90^0\)

Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc \(90^0\)

=> E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.

Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có góc BEC = \(90^0\)

Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến

=> DE = 1/2 BC.

4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH

=> OA = OE => tam giác AOE cân tại O

=> góc E1 = góc A1 (1).

Theo trên DE = 1/2 BC

=> tam giác DBE cân tại D

=> góc E3 = góc B1 (2)

Mà góc B1 = góc A1 (vì cùng phụ với góc ACB)

=> góc E1 = góc E3 

=> góc E1 + góc E2 = góc E2 + góc E3

Mà góc E1 + góc E2 = góc BEA = \(90^0\)

=> góc E2 + góc E3 = \(90^0 \) = góc OED

=> DE ┴ OE tại E.

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.

5. Theo giả thiết AH = 6 Cm

=> OH = OE = 3 cm; DH = 2 Cm

=> OD = 5 cm.

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E

Ta có: ED^2 = OD^2 – OE^2 

           ED^2 = 52 – 32 

           ED^2 = 20

      ↔ ED = \(\sqrt{20}\)    =     4 cm

 

Tick cho mình nhaaa

Answer 2

Giải thích các bước giải:

1. Xét tứ giác CEHD ta có:

góc CEH = 900 (Vì BE là đường cao)

góc CDH = 900 (Vì AD là đường cao)

=> góc CEH + góc CDH = 1800

Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp

2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEA = 900.

AD là đường cao => AD ┴ BC => BDA = 900.

Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.

Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có góc BEC = 900.

Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 1/2 BC.

4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => góc E1 = góc A1 (1).

Theo trên DE = 1/2 BC => tam giác DBE cân tại D => góc E3 = góc B1 (2)

Mà góc B1 = góc A1 (vì cùng phụ với góc ACB) => góc E1 = góc E3 => góc E1 + góc E2 = góc E2 + góc E3

Mà góc E1 + góc E2 = góc BEA = 900 => góc E2 + góc E3 = 900 = góc OED => DE ┴ OE tại E.

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E

5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ↔ ED2 = 52 – 32 ↔ ED = 4cm