​Cho y=f(x) có đạo hàm trên R. Biết rằng f(0)=0, f(-3)=f(3/2)=−19/4 và y=f'(x) có dạng như hình vẽ.

Question

Cho hàm số đa thức y=f(x) có đạo hàm trên R. Biết rằng f(0)=0, f(-3)=\(f\left(\frac{3}{2} \right)=-\frac{19}{4}\)  và đồ thị hàm số y=f'(x) có dạng như hình vẽ.

Hàm số \(g\left(x\right)=\left|4f\left(x\right)+2x^{2} \right| \) giá trị lớn nhất của g(x) trên \(\left[-2;\frac{3}{2} \right] \) là
A. 2.

B. \(\frac{39}{2} .\)

C. 1.

D. \(\frac{29}{2} .\)

Answer 1

Chọn D

Lời giải

Xét hàm số h\left(x\right)=4f\left(x\right)+2x^{2}  xác định trên {\rm R}.

Hàm số f\left(x\right) là hàm đa thức nên h\left(x\right) cũng là hàm đa thức và h\left(0\right)=4f\left(0\right)+2.0=0

Khi đó h'\left(x\right)=4f'\left(x\right)+4x\Rightarrow h'\left(x\right)=0\Leftrightarrow f'\left(x\right)=-x. 

\includegraphics*[bb=0 0 2.41in 1.93in, width=2.41in, height=1.93in, keepaspectratio=false]{image12.png}

Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số \(y=f'\left(x\right)\) và đường thẳng y=-x, ta có 
\(h'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{-3;0;\frac{3}{2} \right\}\)
Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left(x\right)=\left|h\left(x\right)\right|\) như sau

Vậy giá trị lớn nhất của \(g\left(x\right) trên \left[-2;\frac{3}{2} \right] \) là \(\frac{29}{2} .\)