Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình 3^(x−3+m−3x√3)+(x3−9x2+24x+m).3x−3=3x+1 có 3 nghiệm pb

Question

Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình 3\(^{x-3+\sqrt[{3}]{m-3x} } +\left(x^{3} -9x^{2} +24x+m\right).3^{x-3} =3^{x} +1\) có 3 nghiệm phân biệt là

A. 45.

B. 34.

C. 27.

D. 38.
 

Answer 1

Chọn C
\( {3^{x-3+\sqrt[{3}]{m-3x} } +\left(x^{3} -9x^{2} +24x+m\right).3^{x-3} =3^{x} +1} \\ {\Leftrightarrow 3^{x-3+\sqrt[{3}]{m-3x} } +\left[\left(x-3\right)^{3} +27+m-3x\right].3^{x-3} =3^{x} +1} \\ {\Leftrightarrow 3^{\sqrt[{3}]{m-3x} } +\left(x-3\right)^{3} +m-3x+27=3^{3} +3^{3-x} \left(1\right)} \\ {a=3-x;\, \, b=\sqrt[{3}]{m-3x} } \\ {\left(1\right)\Leftrightarrow 3^{b} +27+b^{3} -a^{3} =27.+3^{a} \, \Leftrightarrow 3^{b} +b^{3} =3^{a} +a^{3} }\)
Xét \( f\left(t\right)=3^{t} +t^{3} \Rightarrow f'\left(t\right)=3^{t} .\ln 3+3t^{2} \ge 0\forall t\in R\)
\({\Rightarrow f\left(a\right)=f\left(b\right)\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow 3-x=\sqrt[{3}]{m-3x} } \\ {\Leftrightarrow m=\left(3-x\right)^{3} +3x=-x^{3} +9x^{2} -24x+27}\)
\({f\left(x\right)=-x^{3} +9x^{2} -24x+27\Rightarrow f'\left(x\right)=-3x^{2} +18x-24} \\ {f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=2\vee x=4}\)

Dựa vào đồ thị:\(7<m<11\Rightarrow m\in \left\{8;\, 9;\, 10\right\}. \)Suy ra tổng các giá trị là 27.