Chọn C
Chọn hệ tọa độ \({\rm Ox}yz\) như hình vẽ ( O là trung điểm của AB) sao cho \(S\left(0;0;\frac{a\sqrt{3} }{2} \right), E\left(\frac{a}{2} ;\frac{a}{2} ;0\right)\)
\(C\left(\frac{a}{2} ;a;0\right), F\left(0;a;0\right)\Rightarrow I\left(\frac{a}{4} ;\frac{3a}{4} ;0\right)\) là trung điểm của EF.
Khi đó đường thẳng \(\Delta\) là trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ECF\) có phương trình là \(\left\{\begin{array}{l} {x=\frac{a}{4} } \\ {y=\frac{3a}{4} } \\ {z=t} \end{array}\right. ,t\in R\Rightarrow J(\frac{a}{4} ;\frac{3a}{4} ;t)\) ( với J là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECF).
Ta có \(\overrightarrow{SJ}=\left(\frac{a}{4} ;\frac{3a}{4} ;t-\frac{a\sqrt{3} }{2} \right); \overrightarrow{CJ}=\left(-\frac{a}{4} ;-\frac{a}{4} ;t\right)\)
Mà\( SJ^{2} =CJ^{2} \Leftrightarrow \frac{a^{2} }{16} +\frac{9a^{2} }{16} +(t-\frac{a\sqrt{3} }{2} )^{2} =\frac{a^{2} }{16} +\frac{a^{2} }{16} +t^{2} \Leftrightarrow t=\frac{5a\sqrt{3} }{12} \)
\(\[\Rightarrow R^{2} =CI^{2} =\frac{a^{2} }{16} +\frac{a^{2} }{16} +\frac{75a^{2} }{144} =\frac{93a^{2} }{144} \Rightarrow R=\frac{a\sqrt{93} }{12} \] \)