Gọi M,N lần lượt thuộc các cạnh BC,CD sao cho MN luôn bằng 1. Tìm min của thể tích khối tứ diện SAMN.

Question

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCDcó tất cả các cạnh bằng 1. Gọi M,N lần lượt thuộc các cạnh BC,CD sao cho MN luôn bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện SAMN. 

\(A.\frac{\sqrt{2} }{12} . B.\frac{\sqrt{3} }{12} .\)

\(C.\frac{1+\sqrt{2} }{12} . D.\frac{4-\sqrt{2} }{24} .\)
 

Answer 1

Chọn D

Ta có: ABCDlà hình vuông nên: \(AC=\sqrt{2} \Rightarrow AO=\frac{\sqrt{2} }{2} .\)

Xét tam giác AOC có: \(SO=\sqrt{AS^{2} -AO^{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} .\)

Đặt: \(MC=x\Rightarrow CN=\sqrt{1-x^{2} } .\)

Ta có: \(S_{AMN} =S_{ABCD} -S_{ADM} -S_{ABN} -S_{MNC} =1-\frac{1-x}{2} -\frac{x\sqrt{1-x^{2} } }{2} -\frac{\sqrt{1-x^{2} } }{2} \)
\(\[\Rightarrow S_{AMN} =\frac{x+\sqrt{1-x^{2} } -x\sqrt{1-x^{2} } }{2} \] \)
Để thể tích SAMNnhỏ nhất\( \Rightarrow S_{AMN}  \)đạt giá trị nhỏ nhất.

Đặt \(t=x+\sqrt{1-x^{2} } \, \, \, ;\, t\in \left[1;\, \sqrt{2} \right]\Rightarrow x\sqrt{1-x^{2} } =\frac{t^{2} -1}{2} \, \)
\(\[\Rightarrow f\left(t\right)=S_{AMN} =\frac{1}{4} \left(-t^{2} +2t+1\right)\] \)
\(\[f'\left(t\right)=-\frac{1}{2} t+\frac{1}{2} =0\Rightarrow t=1\]  \)

Ta có\( f\left(1\right)=\frac{1}{2} ;\, \, \, f\left(\sqrt{2} \right)=\frac{2\sqrt{2} -1}{4} \)

Khi đó \(S_{AMN}\)  đạt giá trị nhỏ nhất là\( \frac{2\sqrt{2} -1}{4} .\)

Vậy \(V_{SAMN} \)đạt giá trị nhỏ nhất là: \(V_{\min } =\frac{1}{3} .\frac{\sqrt{2} }{2} .\frac{2\sqrt{2} -1}{4} =\frac{4-2\sqrt{2} }{24} .\)