Có một khối gỗ dạng hình chóp OABC có OA,OB,OCđôi một vuông góc với nhau, OA=3cm,OB=6cm,OC=12cm.

Question

Có một khối gỗ dạng hình chóp OABC có OA,OB,OCđôi một vuông góc với nhau, \(OA=3{\rm cm,}\, OB=6{\rm cm},\, OC=12{\rm cm}.\) Trên mặt ABC người ta đánh dấu một điểm Msau đó người ta cắt gọt khối gỗ để thu được một hình hộp chữ nhật có OMlà một đường chéo đồng thời hình hộp có ba mặt nằm trên ba mặt của tứ diện (xem hình vẽ). Thể tích lớn nhất của khối gỗ hình hộp chữ nhật bằng

\(A. 8\, {\rm cm}^{3} . B. {\rm 24}\, {\rm cm}^{3} .\)

\(C. {\rm 12}\, {\rm cm}^{3} . D. 36\, {\rm cm}^{3} .\)
 

Answer 1

Chọn A

Giả sử \(d\left(M,\left(OBC\right)\right)=a, d\left(M,\left(OAC\right)\right)=b, d\left(M,\left(OAB\right)\right)=c.\)

Suy ra thể tích khối hộp bằng V=abc

Mặt khác \(V_{OABC} =V_{M.OAB} +V_{M.OAC} +V_{M.OBC} \Leftrightarrow \frac{1}{6} .3.6.12=\frac{1}{6} .3.6.c+\frac{1}{6} 3.12.b+\frac{1}{6} .6.12.a\)
\(\[\Leftrightarrow \frac{a}{3} +\frac{b}{6} +\frac{c}{12} =1 \Rightarrow 1\ge 3\sqrt[{3}]{\frac{a}{3} \frac{b}{6} \frac{c}{12} } \Rightarrow a.b.c\le \frac{12.6.3}{27} =8\left({\rm cm}^{{\rm 3}} \right).\] \)
Dấu bằng xảy ra khi\( \frac{a}{3} =\frac{b}{6} =\frac{c}{12} =\frac{1}{3} \Leftrightarrow a=1,\, \, b=2,\, \, c=4.\)