Chào mừng bạn đến với Selfomy Hỏi Đáp, hãy Hỏi bài tập hoặc Tham gia ngay
0 phiếu
2.1k lượt xem
trong Toán lớp 9 bởi postfirst Cử nhân (3.6k điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac 2{xy}+4xy\) với \(x>0;y>0;x+y\leq1\)


1 Câu trả lời

0 phiếu
bởi nguyendavit123 ● Ban Quản Trị Tiến sĩ (12.5k điểm)
 
Hay nhất

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac 2{xy}+4xy\)

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac 8{4xy}+4xy\)

\(A=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac 2{4xy} \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}4xy +\dfrac 1{4xy} \end{pmatrix}+\dfrac 5{4xy}\)

\(A=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac 1{2xy} \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}4xy +\dfrac 1{4xy} \end{pmatrix}+\dfrac 5{4xy}\)

có: \((x+y)^2 \geq 4xy \Leftrightarrow \frac{1}{4xy} \ge \frac{1}{(x+y)^2} (*)\)

lại có: \(x+y\leq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{(x+y)^2} \ge1 (**)\)

Từ (*) và (**), suy ra: \( \frac{1}{4xy} \ge1 \Leftrightarrow \frac{5}{4xy} \ge5\)   (1)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức \(\dfrac {a_1^2}{x_1}+\dfrac {a_2^2}{x_2} \geq \frac{(a_1+a_2)^2}{x_1+x_2}\) có:

\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac 1{2xy} \ge \frac{(1+1)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2} \ge4.1=4\)  (2)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy có:

\(4xy +\dfrac 1{4xy} \ge 2 \sqrt{4xy.\dfrac 1{4xy}}=2\)  (3)

Cộng (1)(2)(3) vế theo vế ta được:

\( \dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac 1{2xy}+ 4xy +\dfrac 1{4xy} +\dfrac 5{4xy} \ge 4+2+5=11\)

hay \(A \ge 11\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(A_{min}=11 \Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Chúc bạn học tốt!

Các câu hỏi liên quan

0 phiếu
0 câu trả lời 85 lượt xem
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.
đã hỏi 26 tháng 11, 2023 trong Toán lớp 9 bởi lamloc Cử nhân (2.6k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 247 lượt xem
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x²y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.
đã hỏi 7 tháng 5, 2022 trong Toán lớp 9 bởi thuythanh1905207625 Thần đồng (924 điểm)
0 phiếu
1 trả lời 332 lượt xem
đã hỏi 4 tháng 6, 2017 trong Toán lớp 7 bởi Khách Học sinh (452 điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 171 lượt xem
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức C= x^2 - 4xy + 5y^2 + 10x - 22y
đã hỏi 1 tháng 5, 2020 trong Toán lớp 8 bởi Nqoc_baka ● Quản Trị Viên Phó giáo sư (34.6k điểm)
  • zin_cute
0 phiếu
1 trả lời 580 lượt xem
Cho x,y là các số thực thỏa mãn\( (x-3)^{2} +(y-1)^{2} =5.\)Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P=\frac{3y^{2} +4xy+7x+4y-1}{x+2y+1}\) là \( A. 2\sqrt{3} . B. \sqrt{3} . \) \( C. 3. D. \frac{114}{11} .\)
đã hỏi 11 tháng 8, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 241 lượt xem
Cho các số thực thỏa mãn x²+y²-xy = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x² + y².
đã hỏi 6 tháng 5, 2022 trong Toán lớp 9 bởi thuythanh1905207625 Thần đồng (924 điểm)
0 phiếu
1 trả lời 94 lượt xem
Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x² + y².
đã hỏi 7 tháng 5, 2022 trong Toán lớp 9 bởi thuythanh1905207625 Thần đồng (924 điểm)
0 phiếu
1 trả lời 91 lượt xem
Cho biểu thức \(P=x+\frac{1}{\left(x-y\right)y}\) với x>y>0. Giá trị nhỏ nhất của P bằng A. 2. B. 3. C. 1. D. 4
đã hỏi 12 tháng 10, 2020 trong Toán bởi phuonqmin1206 ● Cộng Tác Viên Học sinh (273 điểm)
0 phiếu
1 trả lời 134 lượt xem
Cho biểu thức \(P=x+\frac{1}{\left(x-y\right)y} với x>y>0\). Giá trị nhỏ nhất của P bằng A. 2. B. 3. C. 1. D. 4
đã hỏi 27 tháng 7, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 118 lượt xem
Với các số thực a và b thỏa mãn a² + b² =2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=3( a+ b)+ ab
đã hỏi 6 tháng 5, 2022 trong Toán lớp 9 bởi thuythanh1905207625 Thần đồng (924 điểm)

HOT 1 giờ qua

  1. nguyenmanh04102009212

    166 Điểm

  2. tnk11022006452

    120 Điểm

  3. hoconghung031007464

    80 Điểm

Phần thưởng hằng tháng
Hạng 1: 200.000 đồng
Hạng 2: 100.000 đồng
Hạng 3: 50.000 đồng
Hạng 4-10: 20.000 đồng
Bảng xếp hạng cập nhật 30 phút một lần
...