Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1/x^2+y^2+2/xy+4xy với x > 0 ; y > 0 ; x + y ≤ 1

Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac 2{xy}+4xy\) với \(x>0;y>0;x+y\leq1\)

Answer 1

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac 2{xy}+4xy\)

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac 8{4xy}+4xy\)

\(A=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac 2{4xy} \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}4xy +\dfrac 1{4xy} \end{pmatrix}+\dfrac 5{4xy}\)

\(A=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac 1{2xy} \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}4xy +\dfrac 1{4xy} \end{pmatrix}+\dfrac 5{4xy}\)

có: \((x+y)^2 \geq 4xy \Leftrightarrow \frac{1}{4xy} \ge \frac{1}{(x+y)^2} (*)\)

lại có: \(x+y\leq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{(x+y)^2} \ge1 (**)\)

Từ (*) và (**), suy ra: \( \frac{1}{4xy} \ge1 \Leftrightarrow \frac{5}{4xy} \ge5\)   (1)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức \(\dfrac {a_1^2}{x_1}+\dfrac {a_2^2}{x_2} \geq \frac{(a_1+a_2)^2}{x_1+x_2}\) có:

\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac 1{2xy} \ge \frac{(1+1)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2} \ge4.1=4\)  (2)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy có:

\(4xy +\dfrac 1{4xy} \ge 2 \sqrt{4xy.\dfrac 1{4xy}}=2\)  (3)

Cộng (1)(2)(3) vế theo vế ta được:

\( \dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac 1{2xy}+ 4xy +\dfrac 1{4xy} +\dfrac 5{4xy} \ge 4+2+5=11\)

hay \(A \ge 11\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(A_{min}=11 \Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Chúc bạn học tốt!