Question

Cho x,y là những số thực thỏa mãn x\(^{2} -xy+y^{2} =1\). Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x^{4} +y^{4} +1}{x^{2} +y^{2} +1} \) . Khi đó giá trị \( A=M+15m\) là: 

\(A. 17-2\sqrt{6} \).
\(B. 17-\sqrt{6} .\)
\(C. 17+\sqrt{6} . \)
\(D. 17+2\sqrt{6} .\)

 

Answer 1

Lời giải
Chọn A 

Ta có: \(x^{2} -xy+y^{2} =1\Leftrightarrow  x^{2} +y^{2} =1+xy\)
 \(+) 1+xy=x^{2} +y^{2} =\left(x+y\right)^{2} -2{\rm x}y\ge -2{\rm x}y \ge  \Rightarrow   {\rm x}y\ge -\frac{1}{3} .\) 
 \(+) 1+xy=x^{2} +y^{2} =\left(x-y\right)^{2} +2{\rm x}y\ge 2{\rm x}y\Rightarrow {\rm x}y\le 1. \)
Suy ra: \(-\frac{1}{3} \le {\rm x}y\le 1\)

Đặt \(t=xy,\, t\in \left[-\frac{1}{3} ;1\right] \).

Ta có: \(P=\frac{x^{4} +y^{4} +1}{x^{2} +y^{2} +1} =\frac{\left(x^{2} +y^{2} \right)^{2} -2x^{2} y^{2} +1}{\left(x^{2} +y^{2} \right)+1} =\frac{\left(1+xy\right)^{2} -2x^{2} y^{2} +1}{\left(1+xy\right)+1} .\)

Khi đó \(P=\frac{-t^{2} +2t+2}{t+2}  \) suy ra \(P'\left(t\right)=\frac{-t^{2} -4t+2}{\left(t+2\right)^{2} } .\)

Cho \(P'\left(t\right)=0\Leftrightarrow  \left[\begin{array}{l} {t=\sqrt{6} -2\, \in \left[-\frac{1}{3} ;1\right]} \\ {t=-\sqrt{6} -2\, \, \notin \left[-\frac{1}{3} ;1\right]} \end{array}\right.  .\)

Ta có: \(P\left(1\right)=1; P\left(-\frac{1}{3} \right)=\frac{11}{15} ; P\left(\sqrt{6} -2\right)=6-2\sqrt{6} \)

Vậy  \(M={\mathop{{\rm max}}\limits_{\left[-\frac{1}{3} ;1\right]}} P=6-2\sqrt{6} ; m={\mathop{\min P}\limits_{\left[-\frac{1}{3} ;1\right]}} =\frac{11}{15} . \)

Suy ra \(A=M+15m=17-2\sqrt{6}\) .