Chào mừng bạn đến với Selfomy Hỏi Đáp, hãy Hỏi bài tập hoặc Tham gia ngay
+2 phiếu
277 lượt xem
trong Toán lớp 11 bởi Phamthunhien Thạc sĩ (8.6k điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình năm học 2015 - 2016


1 Câu trả lời

+1 thích
bởi Nguyentrantunhan Cử nhân (2.9k điểm)
được bầu chọn là câu hỏi hay nhất bởi trannhat900 ● Ban Quản Trị
 
Hay nhất

Với 2 số thực dương x,y ta có: (x-y)^{2}\geq 0\Rightarrow \frac{x^{2}}{y}\geq 2x-y

Do đó:

\frac{\left ( 7a^{2}+6ab+5b^{2} \right )^{2}}{3a^{2}+10ab+5b^{2}}\geq 2(7a^{2}+6ab+5b^{2})-(3a^{2}+10ab+5b^{2})=11a^{2}+2ab+5b^{2}

\Rightarrow \frac{7a^{2}+6ab+5b^{2}}{\sqrt{3a^{2}+10ab+5b^{2}}}=\sqrt{\frac{\left ( 7a^{2}+6ab+5b^{2} \right )^{2}}{3a^{2}+10ab+5b^{2}}}\geq \sqrt{11a^{2}+2ab+5b^{2}}

Mà: 11a^{2}+2ab+5b^{2}=2(2a+b)^{2}+3(a-b)^{2}\geq 2(2a+b)^{2}

Nên: \frac{7a^{2}+6ab+5b^{2}}{\sqrt{3a^{2}+10ab+5b^{2}}}\geq \sqrt{2}(2a+b)

Chứng minh tương tự ta có:

\frac{7b^{2}+6bc+5c^{2}}{\sqrt{3b^{2}+10bc+5c^{2}}}\geq \sqrt{2}(2b+c)

\frac{7c^{2}+6ca+5a^{2}}{\sqrt{3c^{2}+10ca+5a^{2}}}\geq \sqrt{2}(2c+a)

Vì vậy F\geq 3\sqrt{2}(a+b+c)

Mặt khác: (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow a+b+c\geq 3

Suy ra: F\geq 9\sqrt{2} dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Các câu hỏi liên quan

+1 thích
0 câu trả lời 177 lượt xem
xét các số thực a,b,c lớn hơn 1 thõa mãn 2a+2b+2c=3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=
đã hỏi 30 tháng 7, 2020 trong Toán lớp 9 bởi Phan Thị Thanh Trà Học sinh (421 điểm)
  • bất-đẳng-thức
0 phiếu
1 trả lời 29 lượt xem
Cho \(\left\{\begin{array}{l} {a,{\rm \; }b,{\rm \; }c{\rm \; }\in \left[0;+\infty \right)} \\ {a^{2} +b^{2} +c^{2} =3} \end{array}\right. .\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{50}{729\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)} +2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)-abc-17.\) A. -20. B. -24. C. -25. D. -30.
đã hỏi 11 tháng 8, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (8.7k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 3.0k lượt xem
Cho hai số phức \(z_{1} ,\, z_{2}\) thỏa mãn điều kiện \(\left|z-3-4i\right|=2\) và \(\left|z_{1} -z_{2} \right|=1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left|z_{1}^{2} \right|-\left|z_{2}^{2} \right|\) bằng \(A. -6-2\sqrt{5} . \) \(B. -5. \) \(C. -\sqrt{85} . \) \(D. -10.\)
đã hỏi 26 tháng 12, 2020 trong Toán lớp 12 bởi nguyenlengoc070902613 ● Cộng Tác Viên Cử nhân (3.3k điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 172 lượt xem
Cho tam giác ABC. Đặt a=BC, b=AC, c=AB. Gọi M là điểm tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=MA^2+MB^2+MC^2\) theo \(a,b,c.\) ... cm\). Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác ABC và diện tích tam giác ABC.
đã hỏi 1 tháng 6, 2021 trong Toán lớp 10 bởi trannhat900 ● Ban Quản Trị Phó giáo sư (37.9k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 46 lượt xem
Với các số \(a,b,c\in \left[1;5\right]\) và a+b+c=8 thì giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)+52\left(ab+bc+ca\right)-1698}{2\left(ab+bc+ca\right)-33}\) là: A. \(-\frac{1202}{87}\) . B. 86. C. \(-\frac{15590}{87} \). D. \(\frac{64}{3} .\)
đã hỏi 12 tháng 10, 2020 trong Toán lớp 12 bởi phuonqmin1206 ● Cộng Tác Viên Học sinh (155 điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 458 lượt xem
Cho các số dương a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
đã hỏi 1 tháng 7, 2020 trong Toán lớp 10 bởi Mabelle Cử nhân (2.4k điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 32 lượt xem
Cho các số thực thỏa mãn x²+y²-xy = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x² + y².
đã hỏi 6 tháng 5 trong Toán lớp 9 bởi thuythanh1905207625 (-84 điểm)
0 phiếu
1 trả lời 53 lượt xem
Cho các số dương a,b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:\( P=\frac{2}{a+\sqrt{ab} +\sqrt[{3}]{abc} } -\frac{3}{\sqrt{a+b+c} } .\) \(A. \frac{3}{4} . B. -\frac{3}{4} .\) \(C. 2-\sqrt{3} . D. -\frac{3}{2} .\)
đã hỏi 21 tháng 7, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (8.7k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 118 lượt xem
Cho các số dương \(a,\, b,\, c.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(P=\frac{2}{a+\sqrt{ab} +\sqrt[{3}]{abc} } -\frac{3}{\sqrt{a+b+c} } .\) A. \(\frac{3}{4} \) B. \(-\frac{3}{4}\) . C. \(2-\sqrt{3}\) D. \(-\frac{3}{2}\) .
đã hỏi 12 tháng 10, 2020 trong Toán lớp 12 bởi phuonqmin1206 ● Cộng Tác Viên Học sinh (155 điểm)
0 phiếu
1 trả lời 155 lượt xem
Cho các số thực a, b thỏa mãn ab=25, \(a\ge \frac{1}{5} , b\ge 1\). Tìm Pmax của biểu thức \(P=\left(\log _{\frac{1}{5} } a\right)^{3} +\left(\log _{\frac{1}{5} } b-1\right)^{3} .\) \(A. P_{\max } =0. B. P_{\max } =5. \) \(C. P_{\max } =-\frac{4}{27} . D. P_{\max } =-\frac{27}{4} . \)
đã hỏi 27 tháng 7, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (8.7k điểm)

HOT 1 giờ qua

  1. 5,5+4,9=? nhanh ạ (0)
  1. Babyshort

    287 Điểm

  2. minhnhatienthanh816

    242 Điểm

  3. nghiayewnek27435

    75 Điểm

  4. nguyen.nhu.y.25.04.01795

    65 Điểm

  5. hocsinhnguyentrunghieu15102010803

    65 Điểm

  6. dohiennth187

    50 Điểm

  7. saitunglam162210940

    50 Điểm

  8. chithu2k10811

    50 Điểm

  9. nguyenphannhabinh810

    50 Điểm

  10. manh.s116973557

    50 Điểm

Phần thưởng hằng tháng
Hạng 1: 200.000 đồng
Hạng 2: 100.000 đồng
Hạng 3: 50.000 đồng
Hạng 4-10: 20.000 đồng
Bảng xếp hạng cập nhật 30 phút một lần
...